微积分学示例

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 24 x + 15$

解题步骤 1

求在 $x = - 3$ 处的点。

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解题步骤 1.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2

化简结果。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

约去 ${(- 3)}^{3}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.2

对 $- 1 (3)$ 运用乘积法则。

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.4

从 $- 1 \cdot 3^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.5

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1.1.5.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.5.2

约去公因数。

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.5.3

重写表达式。

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.1.5.4

用 $- 1 \cdot 3^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.2

将 $- 1 \cdot 3^{2}$ 重写为 $- 3^{2}$ 。

$f (- 3) = - 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = - 9 + 9 - 24 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 1.2.1.6

将 $- 24$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = - 9 + 9 + 72 + 15$

解题步骤 1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f (- 3) = 0 + 72 + 15$

解题步骤 1.2.2.2

将 $0$ 和 $72$ 相加。

$f (- 3) = 72 + 15$

解题步骤 1.2.2.3

将 $72$ 和 $15$ 相加。

$f (- 3) = 87$

解题步骤 1.2.3

最终答案为 $87$ 。

$87$

解题步骤 1.3

把 $87$ 转换成小数。

$y = 87$

解题步骤 2

求在 $x = 0$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

解题步骤 2.2.1.2

用 $0$ 除以 $3$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

解题步骤 2.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 15$

解题步骤 2.2.1.4

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 15$

解题步骤 2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 15$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 15$

解题步骤 2.2.2.3

将 $0$ 和 $15$ 相加。

$f (0) = 15$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $15$ 。

$15$

解题步骤 2.3

把 $15$ 转换成小数。

$y = 15$

解题步骤 3

求在 $x = - 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

解题步骤 3.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

解题步骤 3.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 - 24 \cdot - 2 + 15$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 24$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 + 48 + 15$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} + 48 + 15$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48 + 15$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 48 + 15$

解题步骤 3.2.2.4

将 $48$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} + 15$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

解题步骤 3.2.2.6

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + 15$

解题步骤 3.2.2.7

将 $15$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

解题步骤 3.2.2.8

将 $\frac{15}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.2.2.9

将 $\frac{15}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $48$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 45}{3}$

解题步骤 3.2.5

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$f (- 2) = \frac{4 + 144 + 45}{3}$

解题步骤 3.2.5.2

将 $4$ 和 $144$ 相加。

$f (- 2) = \frac{148 + 45}{3}$

解题步骤 3.2.5.3

将 $148$ 和 $45$ 相加。

$f (- 2) = \frac{193}{3}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $\frac{193}{3}$ 。

$\frac{193}{3}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{193}{3}$ 转换成小数。

$y = 64.\overline{3}$

解题步骤 4

求在 $x = - 1$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3}}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

解题步骤 4.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

解题步骤 4.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot - 1 + 15$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 24$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 + 24 + 15$

解题步骤 4.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} + 24 + 15$

解题步骤 4.2.2.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 24 + 15$

解题步骤 4.2.2.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + 24 + 15$

解题步骤 4.2.2.4

将 $24$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} + 15$

解题步骤 4.2.2.5

将 $\frac{24}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

解题步骤 4.2.2.6

将 $\frac{24}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + 15$

解题步骤 4.2.2.7

将 $15$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

解题步骤 4.2.2.8

将 $\frac{15}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.2.2.9

将 $\frac{15}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 45}{3}$

解题步骤 4.2.5

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$f (- 1) = \frac{2 + 72 + 45}{3}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2$ 和 $72$ 相加。

$f (- 1) = \frac{74 + 45}{3}$

解题步骤 4.2.5.3

将 $74$ 和 $45$ 相加。

$f (- 1) = \frac{119}{3}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $\frac{119}{3}$ 。

$\frac{119}{3}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{119}{3}$ 转换成小数。

$y = 39.\overline{6}$

解题步骤 5

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

解题步骤 5.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot 1 + 15$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 + 15$

解题步骤 5.2.2

求公分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 24 + 15$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24 + 15$

解题步骤 5.2.2.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 24 + 15$

解题步骤 5.2.2.4

将 $- 24$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} + 15$

解题步骤 5.2.2.5

将 $\frac{- 24}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

解题步骤 5.2.2.6

将 $\frac{- 24}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 15$

解题步骤 5.2.2.7

将 $15$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

解题步骤 5.2.2.8

将 $\frac{15}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.9

将 $\frac{15}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f (1) = \frac{1 + 3 - 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 24$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 15 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 45}{3}$

解题步骤 5.2.5

化简表达式。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = \frac{4 - 72 + 45}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

从 $4$ 中减去 $72$ 。

$f (1) = \frac{- 68 + 45}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

将 $- 68$ 和 $45$ 相加。

$f (1) = \frac{- 23}{3}$

解题步骤 5.2.5.4

将负号移到分数的前面。

$f (1) = - \frac{23}{3}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $- \frac{23}{3}$ 。

$- \frac{23}{3}$

解题步骤 5.3

把 $- \frac{23}{3}$ 转换成小数。

$y = - 7.\overline{6}$

解题步骤 6

三次函数可通过函数性质和相关点来画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

解题步骤 7

三次函数可通过函数性质和所选点来画出其图像。

在左边下降，在右边上升

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例