微积分学示例

$y = \sqrt{16 x - 2}$

解题步骤 1

求 $y = \sqrt{16 x - 2}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{2 (8 x - 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 (8 x - 1) \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $2 (8 x - 1) \geq 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $2 (8 x - 1) \geq 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (8 x - 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (8 x - 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.1.2.1.2

用 $8 x - 1$ 除以 $1$ 。

$8 x - 1 \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$8 x - 1 \geq 0$

解题步骤 1.2.2

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$8 x \geq 1$

解题步骤 1.2.3

将 $8 x \geq 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $8 x \geq 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{1}{8}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{1}{8}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{1}{8}$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[\frac{1}{8}, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq \frac{1}{8}}$

区间计数法：

$[\frac{1}{8}, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq \frac{1}{8}}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $\frac{1}{8}$ 代入 $f (x) = \sqrt{2 (8 x - 1)}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $\frac{1}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 (8 (\frac{1}{8}) - 1)}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 (8 (\frac{1}{8}) - 1)}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{1}{8}) = 0$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(\frac{1}{8}, 0)$ 。

$(\frac{1}{8}, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \sqrt{2 (8 x - 1)}$ 。在本例中，该点为 $(1, \sqrt{14})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \sqrt{2 (8 (1) - 1)}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{2 (8 - 1)}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 7}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f (1) = \sqrt{14}$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $\sqrt{14}$ 。

$y = \sqrt{14}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \sqrt{2 (8 x - 1)}$ 。在本例中，该点为 $(2, \sqrt{30})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \sqrt{2 (8 (2) - 1)}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \sqrt{2 (16 - 1)}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \sqrt{2 \cdot 15}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$f (2) = \sqrt{30}$

解题步骤 4.2.2.4

最终答案为 $\sqrt{30}$ 。

$y = \sqrt{30}$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0.125, 0), (1, 3.74), (2, 5.48)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.125 & 0 \\ 1 & 3.74 \\ 2 & 5.48 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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