微积分学示例

$y = \frac{9}{x \ln (x)}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{9}{x \ln (x)}$ 无定义。

$x \leq 0, x = 1$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 1.4

列出所有垂直渐近线：

$x = 0, 1$

解题步骤 1.5

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 0$

$m = 1$

解题步骤 1.7

因为 $n < m$ ，所以 x 轴、 $y = 0$ 是水平渐近线。

$y = 0$

解题步骤 1.8

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0, 1$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = 0, 1$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{9}{(2) \ln (2)}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2)$ 。

$f (2) = \frac{9}{\ln (2^{2})}$

解题步骤 2.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = \frac{9}{\ln (4)}$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $\frac{9}{\ln (4)}$ 。

$\frac{9}{\ln (4)}$

解题步骤 2.3

把 $\frac{9}{\ln (4)}$ 转换成小数。

$y = 6.49212768$

解题步骤 3

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{9}{(3) \ln (3)}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \ln (3)}$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从 $3 \ln (3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (\ln (3))}$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \ln (3)}$

解题步骤 3.2.1.2.3

重写表达式。

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{3}{\ln (3)}$ 。

$\frac{3}{\ln (3)}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{3}{\ln (3)}$ 转换成小数。

$y = 2.73071767$

解题步骤 4

可以使用 $x = 0, 1$ 处的垂直渐近线和点 $(2, 6.49212768), (3, 2.73071767)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0, 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6.492 \\ 3 & 2.731 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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