微积分学示例

$y = 3 x^{2} - 37 x + 120$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $3 x^{2} - 37 x + 120$ 进行配方。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = - 37$

$c = 120$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 37}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$d = \frac{- 37}{6}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{37}{6}$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 120 - \frac{{(- 37)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $- 37$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 120 - \frac{1369}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = 120 - \frac{1369}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

要将 $120$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$e = 120 \cdot \frac{12}{12} - \frac{1369}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

组合 $120$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$e = \frac{120 \cdot 12}{12} - \frac{1369}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{120 \cdot 12 - 1369}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.2.5.1

将 $120$ 乘以 $12$ 。

$e = \frac{1440 - 1369}{12}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5.2

从 $1440$ 中减去 $1369$ 。

$e = \frac{71}{12}$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(x - \frac{37}{6})}^{2} + \frac{71}{12}$ 。

$3 {(x - \frac{37}{6})}^{2} + \frac{71}{12}$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 3 {(x - \frac{37}{6})}^{2} + \frac{71}{12}$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 3$

$h = \frac{37}{6}$

$k = \frac{71}{12}$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{37}{6}, \frac{71}{12})$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12}$

解题步骤 1.6

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{37}{6}, 6)$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{37}{6}$

解题步骤 1.8

求准线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{35}{6}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{37}{6}, \frac{71}{12})$

焦点： $(\frac{37}{6}, 6)$

对称轴： $x = \frac{37}{6}$

准线： $y = \frac{35}{6}$

方向：开口向上

顶点： $(\frac{37}{6}, \frac{71}{12})$

焦点： $(\frac{37}{6}, 6)$

对称轴： $x = \frac{37}{6}$

准线： $y = \frac{35}{6}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = 3 {(5)}^{2} - 37 \cdot 5 + 120$

解题步骤 2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = 3 \cdot 25 - 37 \cdot 5 + 120$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = 75 - 37 \cdot 5 + 120$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 37$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = 75 - 185 + 120$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

从 $75$ 中减去 $185$ 。

$f (5) = - 110 + 120$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 110$ 和 $120$ 相加。

$f (5) = 10$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $10$ 。

$y = 10$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = 3 {(4)}^{2} - 37 \cdot 4 + 120$

解题步骤 2.5

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = 3 \cdot 16 - 37 \cdot 4 + 120$

解题步骤 2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = 48 - 37 \cdot 4 + 120$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 37$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 48 - 148 + 120$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从 $48$ 中减去 $148$ 。

$f (4) = - 100 + 120$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- 100$ 和 $120$ 相加。

$f (4) = 20$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $20$ 。

$20$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $20$ 。

$y = 20$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = 3 {(7)}^{2} - 37 \cdot 7 + 120$

解题步骤 2.8

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (7) = 3 \cdot 49 - 37 \cdot 7 + 120$

解题步骤 2.8.1.2

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$f (7) = 147 - 37 \cdot 7 + 120$

解题步骤 2.8.1.3

将 $- 37$ 乘以 $7$ 。

$f (7) = 147 - 259 + 120$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.2.1

从 $147$ 中减去 $259$ 。

$f (7) = - 112 + 120$

解题步骤 2.8.2.2

将 $- 112$ 和 $120$ 相加。

$f (7) = 8$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $8$ 。

$8$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 7$ 处的值为 $8$ 。

$y = 8$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = 3 {(8)}^{2} - 37 \cdot 8 + 120$

解题步骤 2.11

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (8) = 3 \cdot 64 - 37 \cdot 8 + 120$

解题步骤 2.11.1.2

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$f (8) = 192 - 37 \cdot 8 + 120$

解题步骤 2.11.1.3

将 $- 37$ 乘以 $8$ 。

$f (8) = 192 - 296 + 120$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.2.1

从 $192$ 中减去 $296$ 。

$f (8) = - 104 + 120$

解题步骤 2.11.2.2

将 $- 104$ 和 $120$ 相加。

$f (8) = 16$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $16$ 。

$16$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 8$ 处的值为 $16$ 。

$y = 16$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 20 \\ 5 & 10 \\ \frac{37}{6} & \frac{71}{12} \\ 7 & 8 \\ 8 & 16 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{37}{6}, \frac{71}{12})$

焦点： $(\frac{37}{6}, 6)$

对称轴： $x = \frac{37}{6}$

准线： $y = \frac{35}{6}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 20 \\ 5 & 10 \\ \frac{37}{6} & \frac{71}{12} \\ 7 & 8 \\ 8 & 16 \end{array}$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例