微积分学示例

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

解题步骤 1

求 $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{8 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$8 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$- x^{2} \geq - 8$

解题步骤 1.2.2

将 $- x^{2} \geq - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- x^{2} \geq - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 8$

解题步骤 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

解题步骤 1.2.4

化简方程。

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解题步骤 1.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{8}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简 $\sqrt{8}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 1.2.4.2.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5

将 $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 2 \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.2.6

求 $x \leq 2 \sqrt{2}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 2 \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $- x \leq 2 \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.7.1.1

将 $- x \leq 2 \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.1.3.1

移动 $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

解题步骤 1.2.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ 重写为 $- (2 \sqrt{2})$ 。

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

解题步骤 1.2.7.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.7.2

求 $x \geq - 2 \sqrt{2}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

解题步骤 1.2.8

求解的并集。

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

集合符号：

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

区间计数法：

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

集合符号：

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 2

要求端点，请将定义域 $x$ 值的边界值代入 $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 2 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $- 2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 2.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 2.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 2.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.4.1

约去公因数。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.2.2.4.2

重写表达式。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

解题步骤 2.2.2.5

计算指数。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

解题步骤 2.2.3

乘以 $- (4 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

解题步骤 2.2.4

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

解题步骤 2.2.7

乘以 $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.7.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

解题步骤 2.2.8

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

使用表达式中的 $2 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简结果。

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解题步骤 2.4.1

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 2.4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 2.4.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 2.4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 2.4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.4.1

约去公因数。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.4.2.4.2

重写表达式。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

解题步骤 2.4.2.5

计算指数。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

解题步骤 2.4.3

乘以 $- (4 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

解题步骤 2.4.4

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

解题步骤 2.4.7

乘以 $2 \sqrt{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.4.7.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.7.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

解题步骤 2.4.8

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

端点为 $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ 。

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $- 1.82842712$ 代入 $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 。在本例中，该点为 $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 1.82842712$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $- 1.82842712$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3.34314575$ 。

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

解题步骤 4.1.2.1.3

从 $8$ 中减去 $3.34314575$ 。

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 1.82842712$ 乘以 $\sqrt{4.65685424}$ 。

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 3.94569924$ 。

$y = - 3.94569924$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $- 0.82842712$ 代入 $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 。在本例中，该点为 $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $- 0.82842712$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 0.82842712$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.6862915$ 。

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

解题步骤 4.2.2.1.3

从 $8$ 中减去 $0.6862915$ 。

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 0.82842712$ 乘以 $\sqrt{7.31370849}$ 。

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $- 2.24038746$ 。

$y = - 2.24038746$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $0.17157287$ 代入 $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 。在本例中，该点为 $(0.17157287, 0.48438771)$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $0.17157287$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $0.17157287$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.02943725$ 。

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

解题步骤 4.3.2.1.3

从 $8$ 中减去 $0.02943725$ 。

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $0.17157287$ 乘以 $\sqrt{7.97056274}$ 。

$f (0.17157287) = 0.48438771$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $0.48438771$ 。

$y = 0.48438771$

解题步骤 4.4

将 $x$ 的值 $1.17157287$ 代入 $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 。在本例中，该点为 $(1.17157287, 3.01607027)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $1.17157287$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.4.2.1.1

对 $1.17157287$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1.372583$ 。

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

解题步骤 4.4.2.1.3

从 $8$ 中减去 $1.372583$ 。

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $1.17157287$ 乘以 $\sqrt{6.62741699}$ 。

$f (1.17157287) = 3.01607027$

解题步骤 4.4.2.3

最终答案为 $3.01607027$ 。

$y = 3.01607027$

解题步骤 4.5

将 $x$ 的值 $2.17157287$ 代入 $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ 。在本例中，该点为 $(2.17157287, 3.93544563)$ 。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $2.17157287$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.5.2.1.1

对 $2.17157287$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4.71572875$ 。

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

解题步骤 4.5.2.1.3

从 $8$ 中减去 $4.71572875$ 。

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $2.17157287$ 乘以 $\sqrt{3.28427124}$ 。

$f (2.17157287) = 3.93544563$

解题步骤 4.5.2.3

最终答案为 $3.93544563$ 。

$y = 3.93544563$

解题步骤 4.6

平方根可以使用顶点周围的点 $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例