微积分学示例

$y = x \sqrt{5 - x^{2}}$

解题步骤 1

求 $y = x \sqrt{5 - x^{2}}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{5 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$5 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$- x^{2} \geq - 5$

解题步骤 1.2.2

将 $- x^{2} \geq - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- x^{2} \geq - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 5$

解题步骤 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.4

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.5

将 $| x | \leq \sqrt{5}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.2.6

求 $x \leq \sqrt{5}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $- x \leq \sqrt{5}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.7.1.1

将 $- x \leq \sqrt{5}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

解题步骤 1.2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{5}$ 重写为 $- \sqrt{5}$ 。

$x \geq - \sqrt{5}$

解题步骤 1.2.7.2

求 $x \geq - \sqrt{5}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- \sqrt{5} \leq x < 0$

解题步骤 1.2.8

求解的并集。

$- \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$

集合符号：

${x | - \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}}$

区间计数法：

$[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$

集合符号：

${x | - \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}}$

解题步骤 2

要求端点，请将定义域 $x$ 值的边界值代入 $f (x) = x \sqrt{5 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- \sqrt{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{5}) = (- \sqrt{5}) \sqrt{5 - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

解题步骤 2.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{5}}^{2})}$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{5}}^{2})}$

解题步骤 2.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5}$

解题步骤 2.2.4.5

计算指数。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 2.2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5}$

解题步骤 2.2.5.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.5.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.5.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \cdot 0$

解题步骤 2.2.6

乘以 $- \sqrt{5} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \sqrt{5}) = 0 \sqrt{5}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{5}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = 0$

解题步骤 2.2.7

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

使用表达式中的 $\sqrt{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{5}) = (\sqrt{5}) \sqrt{5 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简结果。

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解题步骤 2.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - {(\sqrt{5})}^{2})}$

解题步骤 2.4.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 2.4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 2.4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.4.2.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5)}$

解题步骤 2.4.2.5

计算指数。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 1 \cdot 5)}$

解题步骤 2.4.3

化简表达式。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5)}$

解题步骤 2.4.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 \cdot 0}$

解题步骤 2.4.3.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.3.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\sqrt{5}) = 0$

解题步骤 2.4.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

端点为 $(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0)$ 。

$(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0)$

解题步骤 4

平方根可以使用顶点周围的点 $(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0),$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & 0 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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