微积分学示例

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

解题步骤 1

求 $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{2 x - 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 x - 1 \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$2 x \geq 1$

解题步骤 1.2.2

将 $2 x \geq 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $2 x \geq 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 1.4.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(\frac{1}{2}, \infty)$

集合符号：

${x | x > \frac{1}{2}}$

区间计数法：

$(\frac{1}{2}, \infty)$

集合符号：

${x | x > \frac{1}{2}}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $\frac{1}{2}$ 代入 $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

解题步骤 2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

解题步骤 2.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

无定义

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(\frac{1}{2}, Undefined)$ 。

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ 。在本例中，该点为 $(1, 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\sqrt{2 (1) - 1}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

解题步骤 4.1.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

解题步骤 4.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

解题步骤 4.1.2.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{1}$

解题步骤 4.1.2.4

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 4.1.2.5

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ 。在本例中，该点为 $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

解题步骤 4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

解题步骤 4.2.2.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $3$ 代入 $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ 。在本例中，该点为 $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

解题步骤 4.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.4

平方根可以使用顶点周围的点 $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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