微积分学示例

$f (t) = 10 e^{\frac{1}{2} t}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [10 e^{\frac{t}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10 e^{\frac{t}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ 。

$10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = \frac{t}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t}{2}$ 。

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$10 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{t}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$10 e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $10$ 。

$\frac{10}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{10}{2}$ 和 $e^{\frac{t}{2}}$ 。

$\frac{10 e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2.3

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $10 e^{\frac{t}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{5 e^{\frac{t}{2}}}{1} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2.3.2.4

用 $5 e^{\frac{t}{2}}$ 除以 $1$ 。

$5 e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 e^{\frac{t}{2}} \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 e^{\frac{t}{2}}$

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