微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

解题步骤 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x^{2} + x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + x \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

把不等式转换成方程。

$x^{2} + x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \cdot x + x = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2.2.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x + 1) = 0$

$x (x + 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $x (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1$

解题步骤 1.2.7

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

解题步骤 1.2.8

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.2.8.1

检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.8.1.1

选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.8.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

解题步骤 1.2.8.1.3

左边的 $12$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

True

解题步骤 1.2.8.2

检验区间 $- 1 < x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.8.2.1

选择区间 $- 1 < x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 0.5$

解题步骤 1.2.8.2.2

使用原不等式中的 $- 0.5$ 替换 $x$ 。

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

解题步骤 1.2.8.2.3

左边的 $- 0.25$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

False

解题步骤 1.2.8.3

检验区间 $x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.8.3.1

选择区间 $x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 1.2.8.3.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

解题步骤 1.2.8.3.3

左边的 $6$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

True

解题步骤 1.2.8.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 0$ 为假

$x > 0$ 为真

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 0$ 为假

$x > 0$ 为真

解题步骤 1.2.9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 0$

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以 $\sqrt{x^{2} + x}$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$