微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

求定义域以判断表达式是否连续。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x^{2} - 16}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 16 \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

在不等式两边同时加上 $16$ 。

$x^{2} \geq 16$

解题步骤 1.2.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

解题步骤 1.2.3

化简方程。

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解题步骤 1.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \geq \sqrt{16}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

化简 $\sqrt{16}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \geq | 4 |$

解题步骤 1.2.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$| x | \geq 4$

解题步骤 1.2.4

将 $| x | \geq 4$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.2.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.2.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \geq 4$

解题步骤 1.2.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.2.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \geq 4$

解题步骤 1.2.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.2.5

求 $x \geq 4$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x \geq 4$

解题步骤 1.2.6

将 $- x \geq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- x \geq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq - 4$

解题步骤 1.2.7

求解的并集。

$x \leq - 4$ 或 $x \geq 4$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

区间计数法：

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以 $\sqrt{x^{2} - 16}$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

微积分学 示例

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