微积分学示例

$f (x) = \frac{4}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1

求定义域以判断表达式是否连续。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{4}{x^{2} - 25}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 25 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $25$ 。

$x^{2} = 25$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 1.2.3

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

$x = \pm 5$

解题步骤 1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

$x = 5, - 5$

$x = 5, - 5$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 5, - 5}$

区间计数法：

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 5, - 5}$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以 $\frac{4}{x^{2} - 25}$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$