微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - x - 6}$

解题步骤 1

求定义域以判断表达式是否连续。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{x + 2}{x^{2} - x - 6}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - x - 6 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 1.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.2.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.5

最终解为使 $(x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 2$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2, 3}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2, 3}$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以 $\frac{x + 2}{x^{2} - x - 6}$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

微积分学 示例

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