微积分学示例

$h (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$

解题步骤 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$7 x^{2} + 6 \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $6$ 。

$7 x^{2} \geq - 6$

解题步骤 1.2.2

将 $7 x^{2} \geq - 6$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $7 x^{2} \geq - 6$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \geq \frac{- 6}{7}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \geq - \frac{6}{7}$

解题步骤 1.2.3

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{7 x^{2} + 6} = 0$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{7 x^{2} + 6}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ 重写成 ${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简 ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(7 x^{2} + 6)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

化简。

$7 x^{2} + 6 = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$7 x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 1.4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$7 x^{2} = - 6$

解题步骤 1.4.3.2

将 $7 x^{2} = - 6$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将 $7 x^{2} = - 6$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 1.4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 1.4.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 1.4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{6}{7}$

解题步骤 1.4.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$

解题步骤 1.4.3.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$ 。

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解题步骤 1.4.3.4.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{6}{7}}$

解题步骤 1.4.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{6}{7}}$

解题步骤 1.4.3.4.3

将 $\sqrt{\frac{6}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.4.3.4.4

将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 1.4.3.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.3.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 1.4.3.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.4.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 1.4.3.4.5.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 1.4.3.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.4.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

解题步骤 1.4.3.4.6.2

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{42}}{7}$

解题步骤 1.4.3.4.7

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$

解题步骤 1.4.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}$

解题步骤 1.4.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

解题步骤 1.4.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}, - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

解题步骤 1.5

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

因为定义域是全体实数，所以 $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ 在所有实数上连续。

连续

解题步骤 3

微积分学 示例

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