微积分学示例

$f (x) = \tan^{5} (x^{5})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \tan (x^{5})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x^{5})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{5})]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\tan (x^{5})]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (x^{5})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \tan^{4} (x^{5}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{5})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{5}$ 。

$5 \tan^{4} (x^{5}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 2.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$5 \tan^{4} (x^{5}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \tan^{4} (x^{5}) (\sec^{2} (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5}) (5 x^{4})$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5}) x^{4}$

解题步骤 3.2.2

重新排序 $25 \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5}) x^{4}$ 的因式。

$25 x^{4} \tan^{4} (x^{5}) \sec^{2} (x^{5})$

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