微积分学示例

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{7}$ 且 $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ 。

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = t^{5} - 6$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{5} - 6$ 。

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $t^{5} - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $t^{5} - 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ 。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $5 t^{4}$ 和 $0$ 相加。

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.3.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $t^{7}$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $t^{4}$ 。

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.4.3

将 $4$ 和 $7$ 相加。

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

解题步骤 3.6

将 $7$ 移到 ${(t^{5} - 6)}^{3}$ 的左侧。

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

从 $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ 中分解出因数 $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1.1

从 $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ 中分解出因数 $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ 。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

解题步骤 3.7.1.2

从 $7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ 中分解出因数 $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ 。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.1.3

从 $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ 中分解出因数 $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ 。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.2

将 $15$ 移到 $t^{5}$ 的左侧。

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.3

将 ${(t^{5} - 6)}^{2}$ 重写为 $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ 。

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.4

使用 FOIL 方法展开 $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ 。

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解题步骤 3.7.4.1

运用分配律。

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.4.2

运用分配律。

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.4.3

运用分配律。

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.7.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.5.1.1

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.5.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.5.1.1.2

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.5.1.2

将 $- 6$ 移到 $t^{5}$ 的左侧。

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.5.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.5.2

从 $- 6 t^{5}$ 中减去 $6 t^{5}$ 。

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.6

运用分配律。

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.7

化简。

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解题步骤 3.7.7.1

通过指数相加将 $t^{6}$ 乘以 $t^{10}$ 。

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解题步骤 3.7.7.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.7.1.2

将 $6$ 和 $10$ 相加。

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.7.3

将 $36$ 移到 $t^{6}$ 的左侧。

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.8

通过指数相加将 $t^{6}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.8.1

移动 $t^{5}$ 。

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.8.3

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

解题步骤 3.7.9

化简每一项。

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解题步骤 3.7.9.1

运用分配律。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

解题步骤 3.7.9.2

将 $7$ 乘以 $- 6$ 。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

解题步骤 3.7.10

将 $15 t^{5}$ 和 $7 t^{5}$ 相加。

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

解题步骤 3.7.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ 。

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12

化简每一项。

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解题步骤 3.7.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.2

通过指数相加将 $t^{16}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.12.2.1

移动 $t^{5}$ 。

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.2.3

将 $5$ 和 $16$ 相加。

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.3

将 $- 42$ 移到 $t^{16}$ 的左侧。

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.4

使用乘法的交换性质重写。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.5

通过指数相加将 $t^{11}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.12.5.1

移动 $t^{5}$ 。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.5.3

将 $5$ 和 $11$ 相加。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.6

将 $- 12$ 乘以 $22$ 。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.7

将 $- 42$ 乘以 $- 12$ 。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.8

使用乘法的交换性质重写。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.9

通过指数相加将 $t^{6}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.12.9.1

移动 $t^{5}$ 。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.9.3

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.10

将 $36$ 乘以 $22$ 。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

解题步骤 3.7.12.11

将 $- 42$ 乘以 $36$ 。

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

解题步骤 3.7.13

从 $- 42 t^{16}$ 中减去 $264 t^{16}$ 。

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

解题步骤 3.7.14

将 $504 t^{11}$ 和 $792 t^{11}$ 相加。

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

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