微积分学示例

$y = \log_{5} (x - 1) - 1$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\log_{5} (x - 1) - 1$ 无定义。

$x \leq 1$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\log_{5} (x - 1) - 1$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\log_{5} (x - 1) - 1$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

因为 $Q (x)$ 为 $1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

解题步骤 2

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \log_{5} ((2) - 1) - 1$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \log_{5} (1) - 1$

解题步骤 2.2.1.2

$1$ 的对数底 $5$ 的值为 $0$ 。

$f (2) = 0 - 1$

解题步骤 2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = - 1$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3

把 $- 1$ 转换成小数。

$y = - 1$

解题步骤 3

求在 $x = 6$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = \log_{5} ((6) - 1) - 1$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f (6) = \log_{5} (5) - 1$

解题步骤 3.2.1.2

$5$ 的对数底 $5$ 的值为 $1$ 。

$f (6) = 1 - 1$

解题步骤 3.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (6) = 0$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.3

把 $0$ 转换成小数。

$y = 0$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \log_{5} ((3) - 1) - 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \log_{5} (2) - 1$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\log_{5} (2) - 1$ 。

$\log_{5} (2) - 1$

解题步骤 4.3

把 $\log_{5} (2) - 1$ 转换成小数。

$y = - 0.56932344$

解题步骤 5

可以使用 $x = 1$ 处的垂直渐近线和点 $(2, - 1), (6, 0), (3, - 0.56932344)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 1 \\ 3 & - 0.569 \\ 6 & 0 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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