微积分学示例

$- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 1

将 $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $28$ 。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 (2 x)$

解题步骤 2.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 60$ 。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$- 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $84$ 对于 $x$ 是常数，所以 $84 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 36 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 36 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $84$ 。

$- 36 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

解题步骤 2.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 120 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \cdot 1$

解题步骤 2.2.4.3

将 $- 120$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 168 x - 120$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ 。

$- 36 x^{2} + 168 x - 120$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ 中分解出因数 $- 12$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 36 x^{2}$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$- 12 (3 x^{2}) + 168 x - 120 = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $168 x$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 120 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $- 120$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

解题步骤 3.2.4

从 $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x)$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

解题步骤 3.2.5

从 $- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 (10)$ 中分解出因数 $- 12$ 。

$- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$

解题步骤 3.3

将 $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ 中的每一项除以 $- 12$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ 中的每一项都除以 $- 12$ 。

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $3 x^{2} - 14 x + 10$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 14 x + 10 = \frac{0}{- 12}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $0$ 除以 $- 12$ 。

$3 x^{2} - 14 x + 10 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 14$ 和 $c = 10$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 14$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $10$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $196$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 14$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $10$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.3

从 $196$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 3.7.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 3.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 3.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $- 14$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $10$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.3

从 $196$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 3.8.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 3.8.3

化简 $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ 。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 3.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 3.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}, \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $3.78629964$ 代入 $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $3.78629964$ 替换变量 $x$ 。

$f (3.78629964) = - 3 {(3.78629964)}^{4} + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $3.78629964$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (3.78629964) = - 3 \cdot 205.52276035 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $205.52276035$ 。

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $3.78629964$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 \cdot 54.28063794 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $28$ 乘以 $54.28063794$ 。

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $3.78629964$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 \cdot 14.33606502$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $14.33606502$ 。

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 860.16390139$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $- 616.56828105$ 和 $1519.85786257$ 相加。

$f (3.78629964) = 903.28958152 - 860.16390139$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $903.28958152$ 中减去 $860.16390139$ 。

$f (3.78629964) = 43.12568012$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $43.12568012$ 。

$43.12568012$

解题步骤 4.2

通过将 $3.78629964$ 代入 $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ 中求得的点为 $(3.78629964, 43.12568012)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3.78629964, 43.12568012)$

解题步骤 4.3

将 $0.88036701$ 代入 $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $0.88036701$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.88036701) = - 3 {(0.88036701)}^{4} + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $0.88036701$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0.88036701) = - 3 \cdot 0.60069643 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0.60069643$ 。

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $0.88036701$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 \cdot 0.68232501 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $28$ 乘以 $0.68232501$ 。

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.5

对 $0.88036701$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 \cdot 0.77504608$

解题步骤 4.3.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $0.77504608$ 。

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 46.50276526$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $- 1.80208931$ 和 $19.10510038$ 相加。

$f (0.88036701) = 17.30301107 - 46.50276526$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $17.30301107$ 中减去 $46.50276526$ 。

$f (0.88036701) = - 29.19975419$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- 29.19975419$ 。

$- 29.19975419$

解题步骤 4.4

通过将 $0.88036701$ 代入 $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ 中求得的点为 $(0.88036701, - 29.19975419)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.88036701, - 29.19975419)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(3.78629964, 43.12568012), (0.88036701, - 29.19975419)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0.88036701) \cup (0.88036701, 3.78629964) \cup (3.78629964, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0.88036701)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.78036701$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.78036701) = - 36 {(0.78036701)}^{2} + 168 (0.78036701) - 120$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.78036701$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.78036701) = - 36 \cdot 0.60897268 + 168 (0.78036701) - 120$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 36$ 乘以 $0.60897268$ 。

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 168 (0.78036701) - 120$

解题步骤 6.2.1.3

将 $168$ 乘以 $0.78036701$ 。

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 131.10165916 - 120$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 21.92301662$ 和 $131.10165916$ 相加。

$f'' (0.78036701) = 109.17864253 - 120$

解题步骤 6.2.2.2

从 $109.17864253$ 中减去 $120$ 。

$f'' (0.78036701) = - 10.82135746$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 10.82135746$ 。

$- 10.82135746$

解题步骤 6.3

在 $0.78036701$ ，二阶导数为 $- 10.82135746$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0.88036701)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0.88036701)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0.88036701, 3.78629964)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.33333333$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.33333333) = - 36 {(2.33333333)}^{2} + 168 (2.33333333) - 120$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2.33333333$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.33333333) = - 36 \cdot 5.\overline{4} + 168 (2.33333333) - 120$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 36$ 乘以 $5.\overline{4}$ 。

$f'' (2.33333333) = - 196 + 168 (2.33333333) - 120$

解题步骤 7.2.1.3

将 $168$ 乘以 $2.33333333$ 。

$f'' (2.33333333) = - 196 + 392 - 120$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 196$ 和 $392$ 相加。

$f'' (2.33333333) = 196 - 120$

解题步骤 7.2.2.2

从 $196$ 中减去 $120$ 。

$f'' (2.33333333) = 76$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $76$ 。

$76$

解题步骤 7.3

在 $2.33333333$ 处，二阶导数为 $76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0.88036701, 3.78629964)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0.88036701, 3.78629964)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(3.78629964, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.88629964$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.88629964) = - 36 {(3.88629964)}^{2} + 168 (3.88629964) - 120$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3.88629964$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.88629964) = - 36 \cdot 15.10332495 + 168 (3.88629964) - 120$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 36$ 乘以 $15.10332495$ 。

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 168 (3.88629964) - 120$

解题步骤 8.2.1.3

将 $168$ 乘以 $3.88629964$ 。

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 652.89834083 - 120$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $- 543.7196983$ 和 $652.89834083$ 相加。

$f'' (3.88629964) = 109.17864253 - 120$

解题步骤 8.2.2.2

从 $109.17864253$ 中减去 $120$ 。

$f'' (3.88629964) = - 10.82135746$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 10.82135746$ 。

$- 10.82135746$

解题步骤 8.3

在 $3.88629964$ ，二阶导数为 $- 10.82135746$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(3.78629964, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(3.78629964, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$ 。

$(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例