微积分学示例

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{7} - 128}{2 x - 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} x^{7} - 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} x^{7} - lim_{x \to 2^{+}} 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{7}$ 的指数 $7$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{7} - lim_{x \to 2^{+}} 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $128$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $128$ 。

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $128$ 中减去 $128$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{7} - 128}{2 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{7} - 128$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 128$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 128$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

解题步骤 1.3.5

将 $7 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2}$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为项 $\frac{7}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{2} lim_{x \to 2^{+}} x^{6}$

解题步骤 2.2

使用极限幂法则把 $x^{6}$ 的指数 $6$ 移到极限外。

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{6}$

解题步骤 3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{6}$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

从 $2^{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 2^{5})$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 2^{5})$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$7 \cdot 2^{5}$

解题步骤 4.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$7 \cdot 32$

解题步骤 4.3

将 $7$ 乘以 $32$ 。

$224$

微积分学 示例

微积分学示例