微积分学示例

$lim_{x \to 0} (6 x^{2}) (\cot (x)) (\csc (2 x))$

解题步骤 1

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 lim_{x \to 0} x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x^{2} \cot (x) \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50167 \\ - 0.01 & 0.50001666 \\ - 0.001 & 0.50000016 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$0.5$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x^{2} \cot (x) \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50167 \\ 0.01 & 0.50001666 \\ 0.001 & 0.50000016 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$6 \cdot 0.5$

解题步骤 8

将 $6$ 乘以 $0.5$ 。

$3$

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