微积分学示例

$f (x) = 4 x^{4} \ln (x)$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$4 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$4 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$4 (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$4 x^{3} + 4 (\ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 5.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 16 \ln (x) x^{3}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$4 x^{3} + 16 x^{3} \ln (x)$

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