微积分学示例

$y = {(x - 1)}^{2} + 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2} + 1)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) + 1]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

解题步骤 3.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1 + 1]$

解题步骤 3.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1 + 1]$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1 + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.5.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 2 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.6.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 2 + 0 + 0$

解题步骤 3.7

合并项。

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解题步骤 3.7.1

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 2 + 0$

解题步骤 3.7.2

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 2$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 x - 2$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$

微积分学 示例

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