微积分学示例

$x^{4} + 3 x^{3} y^{2} = x - y^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 3 x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - y^{4})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 3 x^{3} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$4 x^{3} + 3 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.2.7

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

解题步骤 2.3.2

合并项。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 x^{3} + 6 (x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 y^{2} x^{2}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x - y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{4}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{4}]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [y^{4}]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$1 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 - (4 y^{3} y')$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 4 y^{3} y'$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$- 4 y^{3} y' + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} = - 4 y^{3} y' + 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $4 y^{3} y'$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $4 x^{3}$ 。

$6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3}$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $9 x^{2} y^{2}$ 。

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.3

从 $6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $6 x^{3} y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (3 x^{3}) + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.3.2

从 $4 y^{3} y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.3.3

从 $2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2})$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.4

将 $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ 中的每一项除以 $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ 中的每一项都除以 $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ 。

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $3 x^{3} + 2 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.2.1

从 $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.1

从 $- 9 x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.2.1

从 $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

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