微积分学示例

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 4 x^{2} + x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{8}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 4 x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

计算 $\frac{1}{16}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{1}{8}$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将 $- \frac{1}{8}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{1}{8}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- \frac{1}{8})}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $- \frac{1}{8}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 {(- \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $- \frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2

对 $\frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.3

将 $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \frac{1^{2}}{8^{2}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{4 \frac{1}{8^{2}} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.6.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \frac{1}{4 (16)} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.6.2

约去公因数。

$\frac{4 \frac{1}{4 \cdot 16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.6.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.7

要将 $- \frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 6.1.8.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.8.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - 2}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.10

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{- 1}{16} + \frac{1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 1 + 1}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.12

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{0}{16}}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.1.13

用 $0$ 除以 $16$ 。

$\frac{0}{{(8 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

用 $0$ 除以 ${(8 x + 1)}^{2}$ 。

$0$

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