微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

解题步骤 1

计算 $u^{4} - 1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $u^{4}$ 重写为 ${(u^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1}{u^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1^{2}}{u^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1)}{u^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1^{2})}{u^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1}$

解题步骤 2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1^{3}}$

解题步骤 2.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

解题步骤 2.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

解题步骤 2.3

约去 $u - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1)}{u^{2} + u + 1}$

微积分学 示例

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