微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 1.3

计算 $\sqrt{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 2^{2}}}$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{0}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 3.3

用 $0$ 除以 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$0$

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