微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

解题步骤 1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ 的极限值。

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.6.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.7

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.4

根据加法法则， $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $5$ 对于 $h$ 是常数，所以 $5$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6

计算 $\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - (3 + h)}$ 重写成 ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.2

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (h) = 4 - (3 + h)$ 。

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解题步骤 2.3.6.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - (3 + h)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.3.3

使用 $4 - (3 + h)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.4

根据加法法则， $4 - (3 + h)$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.5

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.6

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- (3 + h)$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.7

根据加法法则， $3 + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.8

因为 $3$ 对于 $h$ 是常数，所以 $3$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.12

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.13

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.14

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.15

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.17

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.19

组合 $\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.20

将 $- 1$ 移到 ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.21

将 $- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.22

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.23

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.24

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.25

将 $\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.7

计算 $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.7.2

因为 $- 4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8.2

合并项。

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解题步骤 2.3.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8.2.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8.2.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8.2.4

将 $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 ${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 - h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

解题步骤 3.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

解题步骤 3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

解题步骤 3.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

解题步骤 3.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

解题步骤 3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

解题步骤 3.7

化简项。

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解题步骤 3.7.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 3.7.2

化简答案。

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解题步骤 3.7.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.7.2.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 3.7.2.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 3.7.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 3.7.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.7.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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