微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (4 h)}{4 h}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (4 h)}{lim_{h \to 0} 4 h}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} 4 h)}{lim_{h \to 0} 4 h}$

解题步骤 1.2.1.2

因为项 $4$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (4 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} 4 h}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{h \to 0} 4 h}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{h \to 0} 4 h}$

解题步骤 1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} 4 h}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

因为项 $4$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (4 h)}{4 h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (4 h)]}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (4 h)]}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = \sin (h)$ 且 $g (h) = 4 h$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [4 h]}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [4 h]}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 h) \frac{d}{d h} [4 h]}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4 h$ 对 $h$ 的导数是 $4 \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 h) (4 \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 h) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 h) \cdot 4}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.6

将 $4$ 移到 $\cos (4 h)$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 h)}{\frac{d}{d h} [4 h]}$

解题步骤 3.7

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4 h$ 对 $h$ 的导数是 $4 \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{4 \cos (4 h)}{4 \frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{4 \cos (4 h)}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.9

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{4 \cos (4 h)}{4}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$lim_{h \to 0} \frac{4 \cos (4 h)}{4}$

解题步骤 4.1.2

用 $\cos (4 h)$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \cos (4 h)$

解题步骤 4.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{h \to 0} 4 h)$

解题步骤 4.3

因为项 $4$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (4 lim_{h \to 0} h)$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\cos (4 \cdot 0)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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