微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} 2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\tan (2 lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\tan (2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.6

计算 $\tan (2 x)$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3

合并 $\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\tan (2 x) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $\tan (2 x)$ 中减去 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = \tan (h)$ 且 $g (h) = 2 (x + h)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 (x + h)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $2 (x + h)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.2

因为 $2$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 (x + h)$ 对 $h$ 的导数是 $2 \frac{d}{d h} [x + h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.8

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (2 (x + h))$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- \tan (2 x)$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \tan (2 x)$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2 \sec^{2} (2 x + 2 h)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $\sec (2 x + 2 h)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5.4

对 $\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)}$ 运用乘积法则。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5.5

一的任意次幂都为一。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5.6

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

解题步骤 2.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (2 x + 2 h)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (2 x + 2 h))}^{2}}$

解题步骤 2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}$

解题步骤 2.6

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

解题步骤 2.7

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

解题步骤 2.8

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$ 。

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)}$ 转换成 $\sec (2 x + 2 \cdot 0)$ 。

$2 \sec^{2} (2 x + 2 \cdot 0)$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \sec^{2} (2 x + 0)$

解题步骤 4.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \sec^{2} (2 x)$

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