微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\tan (2 x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ 在 $x$ 从左边趋于 $\frac{π}{4}$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，函数值趋于 $- 1$ 。因此， $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ 在 $x$ 从左边趋于 $\frac{π}{4}$ 时的极限为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $\frac{π}{4}$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，函数值趋于 $- 1$ 。因此， $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $\frac{π}{4}$ 时的极限为 $- 1$ 。

$e^{- 1}$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{e}$

小数形式：

$0.36787944 \dots$

微积分学 示例