微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\cos (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 3

计算左极限。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 3.2

将 $\cos (x) \ln (\tan (x))$ 重写为 $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

解题步骤 3.3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

解题步骤 3.3.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

解题步骤 3.3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.3.1.3.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

解题步骤 3.3.1.3.2

当 $x$ 的值从左侧趋于 $\frac{π}{2}$ 时，函数值无限递增。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.3.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

解题步骤 3.3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.2.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.5

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.3.6.1

重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.6.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.7

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.8

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\sec^{2} (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9

化简。

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解题步骤 3.3.3.9.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.9.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.1.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.1.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.9.1.3.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.1.3.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.1.3.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.1.4

一的任意次幂都为一。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.2

合并项。

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解题步骤 3.3.3.9.2.1

将 $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.9.2.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 3.3.3.10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 重写为 $\cos^{- 1} (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

解题步骤 3.3.3.11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.3.3.11.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

解题步骤 3.3.3.11.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

解题步骤 3.3.3.11.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

解题步骤 3.3.3.12

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.3.14

将 $\cos^{- 2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.3.15

化简。

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解题步骤 3.3.3.15.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.3.15.2

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 3.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.3.5

合并因数。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.5.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

解题步骤 3.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

解题步骤 3.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

解题步骤 3.3.6

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

解题步骤 3.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1

从 $\cos (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

解题步骤 3.3.6.2.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

解题步骤 3.3.6.2.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 3.3.7

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

解题步骤 3.3.8

分离分数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.3.9

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

解题步骤 3.3.10

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

解题步骤 3.4

计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

解题步骤 3.4.2

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

解题步骤 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

解题步骤 3.5.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

解题步骤 3.6.2

将 $\cot (\frac{π}{2})$ 乘以 $1$ 。

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

解题步骤 3.6.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 3.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 5

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ 的极限值。

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

解题步骤 5.2

将 $\tan (\frac{π}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

解题步骤 5.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

解题步骤 5.4

因为 $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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