微积分学示例

$3^{2 x} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $3^{2 x}$ 重写为 ${(3^{x})}^{2}$ 。

${(3^{x})}^{2} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = 3^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $3^{x}$ 。

$u^{2} - 108 u + 2187 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 108 u + 2187$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2187$ ，和为 $- 108$ 。

$- 81, - 27$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 81) (u - 27) = 0$

$(u - 81) (u - 27) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $3^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$

$(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3^{x} - 81 = 0$

$3^{x} - 27 = 0$

解题步骤 3

将 $3^{x} - 81$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $3^{x} - 81$ 设为等于 $0$ 。

$3^{x} - 81 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3^{x} - 81 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $81$ 。

$3^{x} = 81$

解题步骤 3.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{4}$

解题步骤 3.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 4$

$x = 4$

$x = 4$

解题步骤 4

将 $3^{x} - 27$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $3^{x} - 27$ 设为等于 $0$ 。

$3^{x} - 27 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $3^{x} - 27 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $27$ 。

$3^{x} = 27$

解题步骤 4.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{3}$

解题步骤 4.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 3$

$x = 3$

$x = 3$

解题步骤 5

最终解为使 $(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$