微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.3

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $\tan (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.6

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

解题步骤 1.3.8

化简。

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解题步骤 1.3.8.1

将 $\sec^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 1.3.8.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 1.3.8.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.5

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

解题步骤 3

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

解题步骤 3.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

解题步骤 3.3

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.4.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.6

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 4.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 4.7.5

计算指数。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 4.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

解题步骤 4.9

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 4.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.9.2.2

约去公因数。

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.9.2.3

重写表达式。

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.10

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

小数形式：

$0.70710678 \dots$

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