微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将

$\cot (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

解题步骤 1.2

将

$\cot (4 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ 转换成

$\cot (4 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 1.4.2

将

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成

$\tan (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ 在

$x$ 从左边趋于

$0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

解题步骤 4

当

$x$ 趋于

$0$ 时，函数值趋于

$0.75$ 。因此，

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ 在

$x$ 从左边趋于

$0$ 时的极限为

$0.75$ 。

$0.75$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ 在

$x$ 从右边趋于

$0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

解题步骤 7

当

$x$ 趋于

$0$ 时，函数值趋于

$0.75$ 。因此，

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ 在

$x$ 从右边趋于

$0$ 时的极限为

$0.75$ 。

$0.75$

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