微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{3 x^{2}}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.7.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.7.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 1 - \cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.9

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.11

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.14

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15

化简。

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解题步骤 2.3.15.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15.2

合并项。

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解题步骤 2.3.15.2.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{2 x}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.5

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.8.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0^{2} + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.1.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.8.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.6

合并项。

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解题步骤 4.3.6.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.6.2

将 $2 \cos (x) \sin (x)$ 和 $2 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{1}$

解题步骤 4.4

用 $4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

解题步骤 5.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

解题步骤 5.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

解题步骤 5.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

解题步骤 5.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

解题步骤 5.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 6.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

解题步骤 7.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{6} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{6} (4 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} (4 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

解题步骤 7.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{6} (4 \cdot 0 - \sin (0))$

解题步骤 7.2.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{6} (0 - \sin (0))$

解题步骤 7.2.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{6} (0 - 0)$

解题步骤 7.2.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{6} (0 + 0)$

解题步骤 7.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot 0$

解题步骤 7.4

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

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