微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

解题步骤 4

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

解题步骤 5

因为项 $81$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

解题步骤 9

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

解题步骤 11.2

将 $81$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

解题步骤 11.3

将 $7$ 和 $5184$ 相加。

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

解题步骤 11.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

解题步骤 11.5

将 $64$ 和 $8$ 相加。

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

解题步骤 11.6

将 $\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

解题步骤 11.7

将 $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

解题步骤 11.8

合并和化简分母。

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解题步骤 11.8.1

将 $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

解题步骤 11.8.2

对 $\sqrt[4]{72}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

解题步骤 11.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

解题步骤 11.8.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

解题步骤 11.8.5

将 ${\sqrt[4]{72}}^{4}$ 重写为 $72$ 。

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解题步骤 11.8.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{72}$ 重写成 $72^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

解题步骤 11.8.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

解题步骤 11.8.5.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

解题步骤 11.8.5.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.5.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

解题步骤 11.8.5.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

解题步骤 11.8.5.5

计算指数。

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

解题步骤 11.9

化简分子。

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解题步骤 11.9.1

将 ${\sqrt[4]{72}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{72^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

解题步骤 11.9.2

对 $72$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

解题步骤 11.9.3

将 $373248$ 重写为 $12^{4} \cdot 18$ 。

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解题步骤 11.9.3.1

从 $373248$ 中分解出因数 $20736$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

解题步骤 11.9.3.2

将 $20736$ 重写为 $12^{4}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

解题步骤 11.9.4

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

解题步骤 11.9.5

合并指数。

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解题步骤 11.9.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

解题步骤 11.9.5.2

将 $5191$ 乘以 $18$ 。

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

解题步骤 11.10

约去 $12$ 和 $72$ 的公因数。

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解题步骤 11.10.1

从 $12 \sqrt[4]{93438}$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

解题步骤 11.10.2

约去公因数。

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解题步骤 11.10.2.1

从 $72$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

解题步骤 11.10.2.2

约去公因数。

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

解题步骤 11.10.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

小数形式：

$2.91393347 \dots$

微积分学 示例

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