微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\tan (\frac{6}{x})}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (\frac{6}{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$ 转换成 $\sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$ 。

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin (lim_{x \to 8} \frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sin (3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

解题步骤 7

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (lim_{x \to 8} \frac{6}{x})$

解题步骤 8

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\sin (\frac{3}{8}) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

解题步骤 12.2

计算 $\sin (\frac{3}{8})$ 。

$0.36627252 \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

解题步骤 12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.36627252 \cdot \cot (2 (3) \frac{1}{8})$

解题步骤 12.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

解题步骤 12.3.3

约去公因数。

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

解题步骤 12.3.4

重写表达式。

$0.36627252 \cdot \cot (3 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 12.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$0.36627252 \cdot \cot (\frac{3}{4})$

解题步骤 12.5

计算 $\cot (\frac{3}{4})$ 。

$0.36627252 \cdot 1.07342614$

解题步骤 12.6

将 $0.36627252$ 乘以 $1.07342614$ 。

$0.39316651$

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