微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

解题步骤 8

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 10.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt{\frac{128 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 11.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{128 - 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 11.4

从 $128$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 11.5

通过指数相加将 $8$ 乘以 $8^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.1

将 $8$ 乘以 $8^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.1.1

对 $8$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 11.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1 + 2}}}$

解题步骤 11.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{3}}}$

解题步骤 11.6

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{127}{8 + 512}}$

解题步骤 11.7

将 $8$ 和 $512$ 相加。

$\sqrt{\frac{127}{520}}$

解题步骤 11.8

将 $\sqrt{\frac{127}{520}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$ 。

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$

解题步骤 11.9

化简分母。

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解题步骤 11.9.1

将 $520$ 重写为 $2^{2} \cdot 130$ 。

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解题步骤 11.9.1.1

从 $520$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{4 (130)}}$

解题步骤 11.9.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{2^{2} \cdot 130}}$

解题步骤 11.9.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$

解题步骤 11.10

将 $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ 。

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$

解题步骤 11.11

合并和化简分母。

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解题步骤 11.11.1

将 $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ 。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \sqrt{130} \sqrt{130}}$

解题步骤 11.11.2

移动 $\sqrt{130}$ 。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 (\sqrt{130} \sqrt{130})}$

解题步骤 11.11.3

对 $\sqrt{130}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130})}$

解题步骤 11.11.4

对 $\sqrt{130}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1})}$

解题步骤 11.11.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

解题步骤 11.11.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{2}}$

解题步骤 11.11.7

将 ${\sqrt{130}}^{2}$ 重写为 $130$ 。

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解题步骤 11.11.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{130}$ 重写成 $130^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.11.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.11.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.11.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.11.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.11.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{1}}$

解题步骤 11.11.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130}$

解题步骤 11.12

化简分子。

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解题步骤 11.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{127 \cdot 130}}{2 \cdot 130}$

解题步骤 11.12.2

将 $127$ 乘以 $130$ 。

$\frac{\sqrt{16510}}{2 \cdot 130}$

解题步骤 11.13

将 $2$ 乘以 $130$ 。

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

小数形式：

$0.49419709 \dots$

微积分学 示例

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