微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

解题步骤 2

因为项 $49$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{49 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{49 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

解题步骤 6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

解题步骤 7

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 9

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $49$ 和 $\frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 10.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 64}}$

解题步骤 10.3

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 256}}$

解题步骤 10.4

将 $2$ 和 $256$ 相加。

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{258}}$

解题步骤 10.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{49 \cdot 64}{258}}$

解题步骤 10.6

将 $49$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt{\frac{3136}{258}}$

解题步骤 10.7

约去 $3136$ 和 $258$ 的公因数。

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解题步骤 10.7.1

从 $3136$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (1568)}{258}}$

解题步骤 10.7.2

约去公因数。

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解题步骤 10.7.2.1

从 $258$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

解题步骤 10.7.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

解题步骤 10.7.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1568}{129}}$

解题步骤 10.8

将 $\sqrt{\frac{1568}{129}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$ 。

$\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$

解题步骤 10.9

化简分子。

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解题步骤 10.9.1

将 $1568$ 重写为 $28^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 10.9.1.1

从 $1568$ 中分解出因数 $784$ 。

$\frac{\sqrt{784 (2)}}{\sqrt{129}}$

解题步骤 10.9.1.2

将 $784$ 重写为 $28^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{28^{2} \cdot 2}}{\sqrt{129}}$

解题步骤 10.9.2

从根式下提出各项。

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$

解题步骤 10.10

将 $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ 。

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}} \cdot \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$

解题步骤 10.11

合并和化简分母。

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解题步骤 10.11.1

将 $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ 。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{\sqrt{129} \sqrt{129}}$

解题步骤 10.11.2

对 $\sqrt{129}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} \sqrt{129}}$

解题步骤 10.11.3

对 $\sqrt{129}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} {\sqrt{129}}^{1}}$

解题步骤 10.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{2}}$

解题步骤 10.11.6

将 ${\sqrt{129}}^{2}$ 重写为 $129$ 。

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解题步骤 10.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{129}$ 重写成 $129^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{(129^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.11.6.4.1

约去公因数。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.11.6.4.2

重写表达式。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{1}}$

解题步骤 10.11.6.5

计算指数。

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129}$

解题步骤 10.12

化简分子。

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解题步骤 10.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{28 \sqrt{129 \cdot 2}}{129}$

解题步骤 10.12.2

将 $129$ 乘以 $2$ 。

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

小数形式：

$3.48640771 \dots$

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