微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

解题步骤 2

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

解题步骤 3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

解题步骤 4

将极限移入根号内。

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}$

解题步骤 5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{40}}$

解题步骤 7.2.2

将 $40$ 重写为 $2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{4 (10)}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{2^{2} \cdot 10}}$

解题步骤 7.2.3

从根式下提出各项。

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 7.4.2

移动 $\sqrt{10}$ 。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

解题步骤 7.4.4

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

解题步骤 7.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 7.4.7

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 7.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{1}}$

解题步骤 7.4.7.5

计算指数。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

解题步骤 7.5

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

小数形式：

$0.58326305 \dots$

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