微积分学示例

$x e^{x}$

解题步骤 1

将 $x e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{x}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x e^{x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 3.2.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 3.4.3

将 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x e^{x} + e^{x}$ 。

$x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x e^{x} + e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

解题步骤 6.2

从 $x e^{x} + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + e^{x} = 0$

解题步骤 6.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.2.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x + 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 6.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 6.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 6.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6.6

最终解为使 $e^{x} (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - 1$

解题步骤 9

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

解题步骤 10.1.2

将 $- 1 \frac{1}{e}$ 重写为 $- \frac{1}{e}$ 。

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

解题步骤 10.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

解题步骤 10.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

解题步骤 10.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 2}{e}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

解题步骤 12.2.2

将 $- 1 \frac{1}{e}$ 重写为 $- \frac{1}{e}$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{e}$ 。

$y = - \frac{1}{e}$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = x e^{x}$ 的局部极值。

$(- 1, - \frac{1}{e})$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

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