微积分学示例

$x^{2} + y^{3} - x + 5 y = 3$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3} - x + 5 y) = \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{3} - x + 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 y'$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1$

解题步骤 3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1 = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$3 y^{2} y' + 5 y' - 1 = - 2 x$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 y^{2} y' + 5 y' = - 2 x + 1$

解题步骤 5.2

从 $3 y^{2} y' + 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + 5 y' = - 2 x + 1$

解题步骤 5.2.2

从 $5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 2 x + 1$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$

解题步骤 5.3

将 $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ 中的每一项除以 $3 y^{2} + 5$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ 中的每一项都除以 $3 y^{2} + 5$ 。

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3 y^{2} + 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 x + 1}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x) + 1}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- (2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $- (2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x - 1)$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

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