微积分学示例

$lim_{x \to 8} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

解题步骤 2.5

将极限移入对数中。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \ln (x))}$

解题步骤 2.6

将极限移入对数中。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

解题步骤 3

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (8))}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\ln (\ln (8))$ 。

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

小数形式：

$1.09583038 \dots$

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