微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{1 x^{2} + 2}$

解题步骤 1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 3 x^{3} - 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 3 x^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

解题步骤 11

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

解题步骤 12

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{4} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

解题步骤 12.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{4} - 3 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

解题步骤 12.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{4} - 3 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4096 - 3 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13.1.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4096 - 3 \cdot 512 - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13.1.3

将 $- 3$ 乘以 $512$ 。

$\frac{\sqrt{4096 - 1536 - 1 \cdot 1}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{4096 - 1536 - 1}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13.1.5

从 $4096$ 中减去 $1536$ 。

$\frac{\sqrt{2560 - 1}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13.1.6

从 $2560$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2559}}{8^{2} + 2}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2559}}{64 + 2}$

解题步骤 13.2.2

将 $64$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sqrt{2559}}{66}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2559}}{66}$

小数形式：

$0.76646302 \dots$

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