微积分学示例

$lim_{x \to - 8} {(\frac{x^{2} + x - 1}{8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

使用极限幂法则把 ${(\frac{x^{2} + x - 1}{8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$ 的指数 $\frac{1}{3}$ 移到极限外。

${(lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + x - 1}{8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

${(\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + x - 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - lim_{x \to - 8} 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 7

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 9

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 10

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{{(- 8)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 10.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{{(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 10.3

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{{(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

${(\frac{64 - 8 - 1 \cdot 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(\frac{64 - 8 - 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.1.3

从 $64$ 中减去 $8$ 。

${(\frac{56 - 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.1.4

从 $56$ 中减去 $1$ 。

${(\frac{55}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

${(\frac{55}{8 \cdot 64 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.2

将 $8$ 乘以 $64$ 。

${(\frac{55}{512 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

${(\frac{55}{512 - 3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.4

从 $512$ 中减去 $3$ 。

${(\frac{55}{509})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.3

对 $\frac{55}{509}$ 运用乘积法则。

$\frac{55^{\frac{1}{3}}}{509^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{55^{\frac{1}{3}}}{509^{\frac{1}{3}}}$

小数形式：

$0.47630115 \dots$

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