微积分学示例

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{x}{x + 1})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})$ 。

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x + 1})}$

解题步骤 2.3

将极限移入对数中。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1})}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1})}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

解题步骤 3

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

解题步骤 3.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})$ 。

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 + 1})}^{8})}$

解题步骤 4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

${(\frac{8}{8 + 1})}^{8}$

解题步骤 4.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{8}{9})}^{8}$

解题步骤 4.4

对 $\frac{8}{9}$ 运用乘积法则。

$\frac{8^{8}}{9^{8}}$

解题步骤 4.5

对 $8$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{16777216}{9^{8}}$

解题步骤 4.6

对 $9$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{16777216}{43046721}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{16777216}{43046721}$

小数形式：

$0.38974434 \dots$

微积分学 示例

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