微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 4

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 6

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 8

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

解题步骤 9

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

解题步骤 12

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

解题步骤 13

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

解题步骤 13.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14.1.2

将 $9$ 乘以 $64$ 。

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14.1.3

将 $576$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14.1.4

将 $592$ 重写为 $4^{2} \cdot 37$ 。

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解题步骤 14.1.4.1

从 $592$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

解题步骤 14.2.2

将 $512$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

解题步骤 14.2.3

将 $513$ 重写为 $3^{2} \cdot 57$ 。

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解题步骤 14.2.3.1

从 $513$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

解题步骤 14.2.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

解题步骤 14.2.4

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

解题步骤 14.3

将 $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ 乘以 $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

解题步骤 14.4

将 $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ 乘以 $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

解题步骤 14.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

解题步骤 14.6

化简。

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

解题步骤 14.7

将 $2 - 3 \sqrt{57}$ 和 $\sqrt{37}$ 分成一组。

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

解题步骤 14.8

运用分配律。

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

解题步骤 14.9

乘以 $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ 。

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解题步骤 14.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

解题步骤 14.9.2

将 $37$ 乘以 $57$ 。

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

解题步骤 14.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

小数形式：

$0.98708074 \dots$

微积分学 示例

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