微积分学示例

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

解题步骤 1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

解题步骤 1.3

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

解题步骤 3.2

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

解题步骤 4.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\cos (0)$

解题步骤 6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

微积分学 示例

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