微积分学示例

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt{x} - \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt{x} - lim_{x \to 7} \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 7} x} - lim_{x \to 7} \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $\sqrt{7}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 7} x} - \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.2.3

从 $\sqrt{7}$ 中减去 $\sqrt{7}$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{0}{7 - 7}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x} - \sqrt{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- \sqrt{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sqrt{7}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.5.2

合并项。

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解题步骤 1.3.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.5.2.2

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 7} \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 7} x}}$

解题步骤 3

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 4.2

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 4.2.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 4.2.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 4.2.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 4.2.6.5

计算指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

解题步骤 4.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{14}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{7}}{14}$

小数形式：

$0.18898223 \dots$

微积分学 示例

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