微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 - lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 5 - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{5 - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9}}$

解题步骤 1.1.3.1.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{5 - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9}}$

解题步骤 1.1.3.1.6

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{5 - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5 - \sqrt{4^{2} + 9}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{5 - \sqrt{16 + 9}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$\frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{5 - 5}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $5 - \sqrt{x^{2} + 9}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 重写成 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.3.8.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

解题步骤 1.3.8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

解题步骤 1.3.8.3.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

解题步骤 1.3.8.4

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]))}$

解题步骤 1.3.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]))}$

解题步骤 1.3.8.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))}$

解题步骤 1.3.8.12

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

解题步骤 1.3.8.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

解题步骤 1.3.8.14

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

解题步骤 1.3.8.15

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

解题步骤 1.3.8.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.8.17

约去公因数。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.8.18

重写表达式。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.9

从 $0$ 中减去 $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 4} - - \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 1.5

将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 。

$lim_{x \to 4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 4} 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

解题步骤 1.6.2

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

解题步骤 2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9}}{lim_{x \to 4} x}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9}}{lim_{x \to 4} x}$

解题步骤 2.5

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

解题步骤 3

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{4^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

解题步骤 3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{4^{2} + 9}}{4}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

解题步骤 4.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

解题步骤 4.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

解题步骤 4.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{4}$

小数形式：

$1.25$

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