微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} - x}}{x^{3} + 9}$

解题步骤 1

从 $9 x^{6} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1

从 $9 x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) - x}}{x^{3} + 9}$

解题步骤 1.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 9}$

解题步骤 1.3

从 $x (9 x^{5}) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 9}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 3

约去 $x^{3}$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 4

约去公因数。

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解题步骤 4.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 5.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{5}$ 。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7.1.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7.2

约去 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 7.5

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{5}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 9.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 9.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

解题步骤 9.4

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 \cdot 0}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

用 $9 - 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{9 - 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

解题步骤 11.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

解题步骤 11.2.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{9}}{1 + 9 \cdot 0}$

解题步骤 11.2.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 + 9 \cdot 0}$

解题步骤 11.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{1 + 9 \cdot 0}$

解题步骤 11.3

化简分母。

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解题步骤 11.3.1

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{1 + 0}$

解题步骤 11.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{1}$

解题步骤 11.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3$

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